Teorija

3. Tjedan

-Lekcija: Električni potencijal i polje nabijenog vodiča

---

1. Električni potencijal i polje nabijenog vodiča

1.1. Električni potencijal

Definicija električnog potencijala

Električni potencijal $V$ u točki prostora definira se kao količina rada koji treba uložiti da bi se pozitivan testni naboj $q$ premjestio iz beskonačnosti u tu točku protiv djelovanja elektrostatičkih sila (bez dobivanja kinetičke energije). Mat. izraz:

$$V \;=\; \frac{W}{q},$$

gdje je $W$ ukupni rad (u džulima, $\mathrm{J}$), a $q$ naboj (u kulonima, $\mathrm{C}$). Slijedi da je jedinica električnog potencijala:

$$\mathrm{V} = \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{C}}.$$

Razlika potencijala (napon)

Ako nas zanima promjena potencijala između dviju točaka A i B, govorimo o razlici potencijala:

$$\Delta V = V_B - V_A = \frac{W_{A \rightarrow B}}{q}.$$

Tu se $W_{A \rightarrow B}$ odnosi na rad pri premještanju naboja iz točke A do B.

Potencijal točkastog naboja

Ako u vakuumu imamo točkasti naboj $Q$, potencijal u točki udaljenoj $r$ od tog naboja iznosi

$$V(r) \;=\; \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \,\frac{Q}{r},$$

gdje je $\epsilon_0$ dielektrična konstanta vakuuma.

Veza između polja i potencijala

Električno polje i električni potencijal usko su povezani. U vektorskom obliku vrijedi

$$\vec{E} = -\,\nabla V,$$

što znači da je jakost električnog polja negativni gradijent električnog potencijala. Intuitivno, polje “pokazuje” u smjeru najvećeg smanjenja $V$.

---

1.2. Polje nabijenog vodiča

Svojstva naboja na vodiču

U elektrostatičkom stanju (nema gibanja naboja), vrijede ova temeljna svojstva za vodiče:

1. Naboj na vodiču smješten je na površini vodiča (unutrašnjost vodiča je bez slobodnih naboja u statičkom slučaju).
2. Jakost polja unutar vodiča je nula. Ako bi unutar metalnog vodiča postojalo polje, slobodni elektroni bi se kretali dok se ne uspostavi ravnoteža.
3. Električno polje izvan vodiča (u neposrednoj blizini površine) okomito je na površinu vodiča. U suprotnom bi postojao tangencijalni komponent polja koji bi “pomicao” naboj.
4. Potencijal vodiča je konstantan (svi dijelovi vodiča imaju isti potencijal) jer bi inače postojala struja između točaka s različitim potencijalima.

Električni potencijal nabijenog vodiča

• Budući da je sve na vodiču spojeno, vodič je izoterma potencijala: $V = \text{const}$ na cijeloj površini i unutar vodiča.
• Vodičev potencijal ovisi o:
  • Ukupnom naboju $Q$ na vodiču,
  • Geometriji ili obliku vodiča.

Primjer: Sferni vodič radiusa $R$:

• Ako nosi naboj $Q$:
  • Unutar sfere (u samom vodiču): $E=0$.
  • Na i izvan površine ($r \ge R$): polje se ponaša kao polje točkastog naboja: $$E(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}.$$
  • Potencijal za $r \ge R$: $$V(r) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\,\frac{Q}{r}, \quad \text{a na površini }(r=R)\quad V(R) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\,\frac{Q}{R}.$$

Polje cilindričnog vodiča

• Za dugačak cilindrični vodič radijusa $R$, ukupni naboj je smješten na vanjskoj površini.
• Ako želimo polje izvan cilindra, možemo se poslužiti Gaussovim zakonom s cilindričnom simetrijom.

Površinska gustoća naboja

• Površinska gustoća naboja označava se $\sigma$ i definira se kao $$\sigma = \frac{Q}{A},$$ gdje je $A$ površina. Za vodič određena geometrija može imati varijabilnu gustoću na različitim dijelovima površine (npr. na oštrim vrhovima veća je gustoća naboja).
• Ako je riječ o vrlo velikoj ravnoj ploči, možemo aproksimirati polje blizu površine vodiča sa $$E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}.$$

---

1.3. Primjeri primjene

Kondenzatori

Kondenzator se sastoji od dviju vodičkih ploča vrlo blizu (paralelnih), svaka s jednakim i suprotnim nabojem $+Q$ i $-Q$.

• Potencijalna razlika između ploča je $V = \Delta V$.
• Ako ploče imaju površinu $A$ i međusobnu udaljenost $d$, u idealnom slučaju (bez ruba): $$E \approx \frac{Q}{\epsilon_0\, A}, \quad V = E\,d = \frac{Q\,d}{\epsilon_0\, A}.$$
• Kapacitet kondenzatora: $$C = \frac{Q}{V} \;\approx\; \frac{\epsilon_0\,A}{d}.$$

Električni dipol

Dipol: dva naboja $(+Q)$ i $(-Q)$ vrlo blizu jedan drugome. Sastavni dio mnogih sustava u kemiji (molekule) ili elektrotehnici.

• Potencijal dipola u dalekom polju opada kao $1/r^2$ (ili točnije $1/r^2$ za polje, $1/r$ za točkast naboj, a dipol $\sim1/r^3$ za polje, $\sim1/r^2$ za potencijal na velikim udaljenostima).
• Posebno se analizira polje dipola ako znamo geometriju i dipolni moment $\vec{p}$.

---

Zaključak

1. Električni potencijal definira se kao rad po jedinici naboja pri prijenosu iz beskonačnosti do točke unutar polja. Potencijal točkastog naboja ili jednostavnih geometrija možemo izraziti analitički.
2. Nabijeni vodič u elektrostatičkoj ravnoteži ima nekoliko svojstava:
   • $E=0$ unutar vodiča,
   • sav naboj prelazi na površinu,
   • potencijal je konstantan.
3. Sferni ili cilindrični vodič omogućuje nam jednostavnu analizu polja i potencijala (posebno ako je simetrija “savršena”).
4. Primjene ovih koncepata vide se u teoriji kondenzatora (gdje ploče imaju suprotne naboje i definiran potencijal) te u izučavanju dipola i njegovog polja.

Vježbe

Auditorne vježbe: Raspodjela naboja i Gaussov zakon

---

Zadatak 1: Polje unutar i izvan nabijenog sfernog sloja

Tekst:
Neka je sferni sloj (tanka sferna ljuska) polumjera $R$ ravnomjerno nabijen ukupnim nabojem $Q$.

1. Kolika je jakost električnog polja $E$ u točki koja se nalazi unutar sfere, na udaljenosti $r_1 < R$ od središta?
2. Kolika je jakost električnog polja $E$ u točki izvan sfere, na udaljenosti $r_2 > R$ od središta?

Rješenje (korak po korak)

1. Gaussov zakon:

   $$\oint \vec{E}\,\cdot\,d\vec{A} = \frac{Q_{\text{unutar}}}{\varepsilon_0}.$$

   Odaberemo Gaussovu površinu kao sferu istoga središta.

2. Unutar sfere $(r_1<R)$

   • Unutar tanke sferne ljuske nema naboja ($Q_{\text{unutar}}=0$) jer je sav naboj raspoređen na samoj ljusci radijusa $R$.
   • Stoga je $$\oint \vec{E}\,\cdot\,d\vec{A} = 0 \quad \Longrightarrow \quad E=0.$$
   • Dakle, $\vec{E}=0$ za $r_1<R$.

3. Izvan sfere $(r_2>R)$

   • Gaussova površina polumjera $r_2$ > $R$ obuhvaća čitavu sfernu ljusku.
   • $Q_{\text{unutar}} = Q$.
   • Polje je sferno simetrično, pa vrijedi $$E\, (4\pi r_2^2) = \frac{Q}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\,\frac{Q}{r_2^2}.$$
   • To je identično polju točkastog naboja $Q$ na udaljenosti $r_2$.

Odgovori:

1. Za $r_1<R$, $E=0$.
2. Za $r_2>R$, $E=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\,\frac{Q}{r_2^2}.$

---

Zadatak 2: Polje beskonačne ravnine naboja

Tekst:
Beskonačna ravnina s gustoćom naboja $\sigma$ (u $\mathrm{C/m^2}$) stvara električno polje u svom okolnom prostoru. Pokažite kako Gaussov zakon daje konstantnu vrijednost polja i izračunajte veličinu $E$.

Rješenje (korak po korak)

1. Gaussova površina:

   • Za beskonačnu ploču, odabiremo cilindar (ili “kutiju”) čija je os okomita na ploču, tako da dijelovi cilindrične površine budu paralelni s pločom, a dvije baze normalne na ploču.

2. Tok na bočnim stijenkama

   • Polje je okomito na ploču i stoga paralelno s bočnom površinom.
   • $\vec{E}\cdot d\vec{A}$ = 0 na bočnoj stijenci.
   • Preostaje doprinos “gornje” i “donje” baze.

3. Ukupni naboj unutar

   • Ako je baza cilindra površine $A$, naboj “presječen” pločom je $\sigma \cdot A$.

4. Gaussov zakon

   $$\oint \vec{E}\,\cdot\,d\vec{A} = E\cdot A + E \cdot A = 2\,E\,A \quad (\text{jer je polje isto gore i dolje i normalno}),$$

   gdje je $E$ magnituda polja. Zatim:

   $$2 E A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.$$

5. Interpretacija

   • Polje je $\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ s jedne strane ploče. Ako imamo dvostranu ploču (s obje strane), polje bi moglo biti $\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$.
   • Ključno: polje je konstantno i ne ovisi o udaljenosti od ploče.

Odgovor:
Jakost polja beskonačne ravnine naboja je $E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ i stalna je u prostoru (na jednoj strani ploče).

---

Zadatak 3: Raspodjela naboja na vodiču i Gaussov zakon

Tekst:
Objasnite zašto se u elektrostatičkom stanju sav naboj vodiča nalazi na površini, te upotrijebite Gaussov zakon za opravdanje da je $\vec{E}=0$ unutar metalnog vodiča.

Rješenje (konceptualno objašnjenje)

1. Gaussov zakon u unutrašnjosti vodiča:

   • U elektrostatičkoj ravnoteži, slobodni elektroni miruju. Da bi mirovali, polje unutar metala mora biti nula. Jer, kad bi postojao $\vec{E} \neq 0$, elektroni bi se gibali.
   • Primjenom Gaussova zakona na sfernu (ili bilo koju) zatvorenu površinu unutar metala, $\oint \vec{E}\,\cdot d\vec{A}=0$. Budući da je unutrašnjost vodiča bez polja, izlazi $\vec{E}=0$.

2. Naboj na površini:

   • Ako naboj ne bi “otišao” na površinu, unutra bi postojalo neto polje, što je protivno stanju ravnoteže.
   • Nakon što se naboj “preseli” na površinu, polje unutar postaje nula.

Zaključak:
Gaussov zakon i ravnoteža naboja pokazuju da unutar vodiča nema polja, pa svi viškovi naboja prelaze na površinu.

---

Zadatak 4: Polje beskonačnog nabijenog cilindra

Tekst:
Imamo beskonačni cilindar polumjera $R$ koji nosi volumnu gustoću naboja $\rho$. Upotrijebite Gaussov zakon za izračun električnog polja:

1. Izvan cilindra $(r>R)$.
2. Unutar cilindra $(r<R)$.

Rješenje (korak po korak)

1. Gaussova površina: Cilindrična površina “souosi” s dugačkim nabijenim cilindrom, duljine $L$.

2. Tok kroz Gaussovu površinu

   • Polje $\vec{E}$ radijalno izlazi iz cilindra.
   • Bočna površina Gaussova cilindra: $\Delta A= (2\pi r L)$.
   • Baze Gaussova cilindra (krajevi) daju nulti tok jer je polje okomito na bočnu, ali usporedno s bazama.

3. Unutar cilindra $(r<R)$

   • Ukupni naboj unutar polumjera $r$: $$Q_{\text{unutar}} = \rho \,\Bigl(\pi r^2 L\Bigr) \quad (\text{volumen poprečnog presjeka} \times L).$$
   • Gaussov zakon: $$E\cdot (2\pi r L) = \frac{\rho \,\pi r^2 L}{\varepsilon_0}.$$ Pojednostavljenje: $$E\, 2\pi r L = \frac{\rho\,\pi r^2 L}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E= \frac{\rho\,r}{2\varepsilon_0}.$$ Zaključak: polje se unutar cilindra povećava linearno s $r$.

4. Izvan cilindra $(r>R)$

   • Sav naboj do polumjera $R$ jest $$Q = \rho \,\pi R^2 L.$$
   • Gaussova površina polumjera $r>R$ i duljine $L$ obuhvaća sav naboj cilindra.
   • $\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}= E(2\pi rL)$.
   • Gaussov zakon: $$E(2\pi rL)= \frac{\rho\,\pi R^2 L}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E= \frac{\rho \, R^2}{2 \varepsilon_0\,r}.$$
   • Polje opada s $1/r$ izvan punog cilindra.

Konačni odgovor:

1. Za $(r<R)$, $E(r)=\frac{\rho\,r}{2\varepsilon_0}$.
2. Za $(r>R)$, $E(r)=\frac{\rho\, R^2}{2 \varepsilon_0\,r}$.

---

Zadatak 5: Dodatni primjer – diskusija raspodjele naboja u kondenzatoru

Tekst:
Imamo ravni kondenzator s pločama velikih dimenzija $A$, razmaknutih za $d$. Po definiciji, jedan vodič nosi naboj $+Q$, a drugi $-Q$.

1. Gdje se točno nalazi taj naboj unutar kondenzatora?
2. Upotrijebite Gaussov zakon za opis polja između ploča (zanemarujući rubne efekte).

Rješenje (sažeo postupak)

1. Raspodjela naboja:
   • U elektrostatičkom stanju, sav se višak naboja nalazi na unutarnjim površinama dviju ploča (onim površinama koje gledaju jedna prema drugoj). Vanjska strana ploča je neutralna (idealizacija).
2. Gaussova površina:
   • Odaberemo “kutiju” koja prolazi kroz jednu ploču i nastavlja se do malo iza nje.
   • Unutar metala polje je nula. Tok je samo kroz dio koji “gleda” na inter-pločju.
   • $\Phi=E\cdot A = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ → $E=\frac{Q}{\varepsilon_0 A}$.
   • Budući da je $\sigma=\frac{Q}{A}$, dolazi se do $E= \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$.
   • U idealnom slučaju nema polja izvan kondenzatora (rubni efekti zanemareni).

---

Zaključci

1. Raspodjela naboja u elektrostatičkim uvjetima obično se locira na površinama vodiča.
2. Gaussov zakon:
   • daje brz i elegantan način izračuna polja za visoko simetrične raspodjele (sfera, cilindar, ravnina),
   • pokazuje da je $E=0$ unutar vodiča,
   • povezuje ukupni naboj unutar zatvorene površine s tokom polja kroz tu površinu.
3. Primjeri poput sfernih ljusaka, punih cilindara i kondenzatorskih ploča ilustriraju primjenu u realnim sustavima.

Ispit

Što Gaussov zakon matematički izražava u elektrostatičkoj teoriji?

$\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = Q$

$\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$

$\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0 \varepsilon_r}$

$\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \sigma A$

Kako se električno polje unutar metalnog vodiča u elektrostatičkom stanju mijenja?

$\vec{E}$ je konstantno unutar vodiča

$\vec{E}$ raste s udaljenosti od središta vodiča

$\vec{E} = 0$ unutar vodiča

$\vec{E}$ opada linearnim tempom unutar vodiča

Koja je jakost električnog polja beskonačne ravnine naboja s gustoćom naboja $\sigma$ u vakuumu?

$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$

$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$

$E = 2\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$

$E = \frac{\varepsilon_0}{2\sigma}$

Koja je jakost električnog polja izvan ravnomjerno nabijenog sfernog sloja polumjera $R$ s ukupnim nabojem $Q$?

$E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R^2}$

$E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$

$E = \frac{Q}{\varepsilon_0 r}$

$E = 0$

Kako se električno polje mijenja unutar beskonačnog nabijenog cilindra radijusa $R$ s volumenom gustoće naboja $\rho$ na udaljenosti $r < R$ od osi?

$E(r) = \frac{\rho r}{2\varepsilon_0}$

$E(r) = \frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0 r}$

$E(r) = \frac{\rho}{2\varepsilon_0 r^2}$

$E(r) = 0$

Što Gaussov zakon nalaže o električnom polju unutar tanke sferne ljuske s ukupnim nabojem $Q$?

$E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$

$E = \frac{Q}{\varepsilon_0}$

$E = 0$

$E$ ovisi o polumjeru ljuske

Koja je površinska gustoća naboja $\sigma$ ako je ukupni naboj $Q$ raspoređen na površini ploče površine $A$?

$\sigma = \frac{Q}{A}$

$\sigma = \frac{A}{Q}$

$\sigma = Q \cdot A$

$\sigma = \frac{Q}{2A}$

Kako se jakost električnog polja vanjskog područja beskonačnog nabijenog cilindra s volumenom gustoće naboja $\rho$ mijenja s udaljenosti $r > R$ od osi?

$E(r) = \frac{\rho r}{2\varepsilon_0}$

$E(r) = \frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0 r}$

$E(r) = \frac{\rho}{2\varepsilon_0 r^2}$

$E(r) = 0$

Koja svojstva nabijenog vodiča vrijede u elektrostatičkom stanju?

$\vec{E} = 0$ unutar vodiča, naboj se raspoređuje unutar volumena

$\vec{E} = 0$ unutar vodiča, naboj se nalazi na površini

$\vec{E} \neq 0$ unutar vodiča, naboj se nalazi na površini

$\vec{E} = 0$ unutar vodiča, naboj se nalazi samo na središtu

Kako se Gaussov zakon koristi za izračun električnog polja oko točkastog naboja?

Primjenom Gaussove površine kao ravnu ploču

Primjenom Gaussove površine kao cilindar

Primjenom Gaussove površine kao sferu

Ne koristi se Gaussov zakon za točkasti naboj

Koja je jakost električnog polja unutar pune sferne kugle s ravnomjerno raspoređenom volumnom gustoćom naboja $\\rho$ na radijusu $r < R$?

$E(r) = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$

$E(r) = \frac{\rho r}{2\varepsilon_0}$

$E(r) = \frac{\rho}{3\varepsilon_0 r^2}$

$E(r) = 0$

Kako je električno polje povezano s potencijalom u elektrostatičkom polju?

$\vec{E} = \nabla V$

$\vec{E} = -\nabla V$

$\vec{E} = V \cdot \vec{r}$

$\vec{E} = \frac{V}{\vec{r}}$